Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD, với \(A\left( 1;2;5 \right),B\left( -1;2;7 \right), C\left( 4;2;2 \right),D\left( 0;6;-10 \right).\) Hai điểm P;Q di động trong không gian thỏa mãn PA=QB,PB=QC,PC=QD,PD=QA. Biết rằng mặt phẳng trung trực của đoạn PQ luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left( a;b;c \right)\). Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.\)

Từ giả thiết PA = QB;PB = QC;PC = QD;PD = QA suy ra \({\overrightarrow {PA} ^2} = {\overrightarrow {QB} ^2};{\overrightarrow {PB} ^2} = {\overrightarrow {QC} ^2};{\overrightarrow {PC} ^2} = {\overrightarrow {QD} ^2};{\overrightarrow {PD} ^2} = {\overrightarrow {QA} ^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\overrightarrow {PA} ^2} + {\overrightarrow {PB} ^2} + {\overrightarrow {PC} ^2} + {\overrightarrow {PD} ^2} = {\overrightarrow {QA} ^2} + {\overrightarrow {QB} ^2} + {\overrightarrow {QC} ^2} + {\overrightarrow {QD} ^2}\\ \Rightarrow \left( {{{\overrightarrow {PA} }^2} - {{\overrightarrow {QA} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PB} }^2} - {{\overrightarrow {QB} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PC} }^2} - {{\overrightarrow {QC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PD} }^2} - {{\overrightarrow {QD} }^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {QA} } \right)\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {QA} } \right) + \left( {\overrightarrow {PB} - \overrightarrow {QB} } \right)\left( {\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {QB} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {QC} } \right)\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {QC} } \right) + \left( {\overrightarrow {PD} - \overrightarrow {QD} } \right)\left( {\overrightarrow {PD} + \overrightarrow {QD} } \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {DI} = 0 \end{array}\)

(Với I là trung điểm của đoạn thẳng PQ)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) = 0 \Rightarrow 8\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {IG} = 0\)

(Với G(1;3;1) là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 4\overrightarrow {IG} \))

\( \Rightarrow IG \bot PQ\) tại trung điểm I của đoạn PQ \( \Rightarrow IG\) nằm trong mặt phẳng trung trực của đoạn PQ, suy ra mặt phẳng trung trực đoạn thẳng PQ đi qua điểm cố định G(1;3;1) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 11.\)