Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), khi đó:

\(AH=d\left( A;\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -10 \right)-2.6-\left( -2 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6\);

\(BK=d\left( B;\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -5 \right)-2.10-\left( -9 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\).

Vì \(MA\), \(MB\) tạo với \(\left( \alpha  \right)\) các góc bằng nhau nên \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}\). Từ \(AH=2BK\) suy ra \(MA=2MB\).

Ta có: \(MA=2MB\)\(\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( a+10 \right)}^{2}}+{{\left( b-6 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( a+5 \right)}^{2}}+{{\left( b-10 \right)}^{2}}+{{\left( c+9 \right)}^{2}} \right]\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{20}{3}a-\frac{68}{3}b+\frac{68}{3}c+228=0\).

Như vậy, điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3} \right)\) và bán kính \(R=2\sqrt{10}\).

Mà \(M\) thuộc \(\left( \alpha  \right)\)

Do đó, M  thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), nên tâm \(J\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Tìm được  \(J=\left( -2;10;-12 \right)\) và bán kính \(\left( C \right)\) là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{J}^{2}}}=6\)

Gọi  điểm \(E\) thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow E\left( -15;2;5 \right).\)

Khi đó \(T=2{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB} \right)}^{2}}=M{{E}^{2}}+2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) và \(2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) không đổi.

Vậy \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{E}_{\text{min}}}\)

Gọi  \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên \(\left( \alpha  \right)\), tìm được \(F\left( -9;-4;2 \right)\Rightarrow FJ=21>r\) nên \(F\) nằm ngoài\(\left( C \right)\).

Suy ra \(F{{M}_{\min }}=FJ-r=15.\)

Khi đó \(M{{E}_{\text{min}}}=\sqrt{E{{F}^{2}}+FM_{\min }^{2}}=3\sqrt{34}\) khi \(M\) là giao điểm của \(FJ\) và \(\left( C \right)\), M  nằm giữa \(F,J\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{FM}=\frac{15}{21}\overrightarrow{FJ}=\frac{5}{7}\overrightarrow{FJ}\Rightarrow M\left( -4;6;-8 \right)\Rightarrow a+b+c=-6.\)