YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x-2y-z+12=0\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(MA,MB\)  tạo với \(\left( \alpha  \right)\) các góc bằng nhau và biểu thức \(T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a+b+c\) bằng

    • A. \(-\frac{464+4\sqrt{58}}{29}.\)            
    • B. \(-6.\)         
    • C. \(6.\)      
    • D. \(\frac{464-4\sqrt{58}}{29}.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), khi đó:

    \(AH=d\left( A;\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -10 \right)-2.6-\left( -2 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6\);

    \(BK=d\left( B;\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -5 \right)-2.10-\left( -9 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\).

    Vì \(MA\), \(MB\) tạo với \(\left( \alpha  \right)\) các góc bằng nhau nên \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}\). Từ \(AH=2BK\) suy ra \(MA=2MB\).

    Ta có: \(MA=2MB\)\(\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\)

    \(\Leftrightarrow {{\left( a+10 \right)}^{2}}+{{\left( b-6 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( a+5 \right)}^{2}}+{{\left( b-10 \right)}^{2}}+{{\left( c+9 \right)}^{2}} \right]\)

    \(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{20}{3}a-\frac{68}{3}b+\frac{68}{3}c+228=0\).

    Như vậy, điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3} \right)\) và bán kính \(R=2\sqrt{10}\).

    Mà \(M\) thuộc \(\left( \alpha  \right)\)

    Do đó, M  thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), nên tâm \(J\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

    Tìm được  \(J=\left( -2;10;-12 \right)\) và bán kính \(\left( C \right)\) là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{J}^{2}}}=6\)

    Gọi  điểm \(E\) thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow E\left( -15;2;5 \right).\)

    Khi đó \(T=2{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB} \right)}^{2}}=M{{E}^{2}}+2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) và \(2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) không đổi.

    Vậy \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{E}_{\text{min}}}\)

    Gọi  \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên \(\left( \alpha  \right)\), tìm được \(F\left( -9;-4;2 \right)\Rightarrow FJ=21>r\) nên \(F\) nằm ngoài\(\left( C \right)\).

    Suy ra \(F{{M}_{\min }}=FJ-r=15.\)

    Khi đó \(M{{E}_{\text{min}}}=\sqrt{E{{F}^{2}}+FM_{\min }^{2}}=3\sqrt{34}\) khi \(M\) là giao điểm của \(FJ\) và \(\left( C \right)\), M  nằm giữa \(F,J\)

    \(\Rightarrow \overrightarrow{FM}=\frac{15}{21}\overrightarrow{FJ}=\frac{5}{7}\overrightarrow{FJ}\Rightarrow M\left( -4;6;-8 \right)\Rightarrow a+b+c=-6.\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 442661

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF