Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và

Đồ thị các hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ là \(-1;\ 1;3\)

Khi và chỉ khi PT \(f'(x)-g'(x)=0\) có ba nghiệm là \(-1;\ 1;3\)

\(\Rightarrow f'(x)-g'(x)=k\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=k\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)\) với \(k\ne 0.\)

\(\Rightarrow f(x)-g(x)=\int{\left( f'(x)-g'(x) \right)dx}=\int{k\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx}\)\(=k\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+3x+C \right).\)

Mà \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( 2 \right)-g\left( 2 \right)=0\Rightarrow kC=0\Rightarrow C=0\)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) có diện tích bằng 96.

\(\Rightarrow 96=-\int\limits_{-1}^{1}{\left( f'(x)-g'(x) \right)dx+}\int\limits_{1}^{3}{\left( f'(x)-g'(x) \right)dx}\)

\(\Rightarrow 96=-k\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx+}k\int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3 \right)dx}=-8k\Rightarrow k=-12\)

\(\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=-3{{x}^{4}}+12{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-36x\)

PT \(f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{4}}+12{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-36x=0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( 0;2 \right)\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x=0,\ x=2\), \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) là

\(S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -3{{x}^{4}}+12{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-36x \right|dx=}\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( -3{{x}^{4}}+12{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-36x \right)dx} \right|=\frac{136}{5}.\)