Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\)

Xét  \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\).

Từ đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) ta có \({f}'(x)=4ax\left( {{x}^{2}}-1 \right)=4a{{x}^{3}}-4ax.\)

Vậy ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ 2c = - 4\\ d = 0 \end{array} \right.a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ c = - 2a\\ d = 0 \end{array} \right. \end{array}\)

 \(\Rightarrow f\left( x \right)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+e\).

Ta lại có

\(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\\\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{1}{4} \\ & e=-3 \\ \end{align} \right.\)

Vậy \(f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3.\)

Ta có \({f}'(x)={{x}^{3}}-x\)\(\Rightarrow f''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1\)\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=6x\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\)

Ta có \(g'\left( x \right)=\left[ 4f'\left( x \right)-f'''\left( x \right) \right]f'\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)\) \(\Leftrightarrow g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right).\)

Mà \(4f'\left( x \right)-f'''\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\) và \(4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+m-11\)

Nên \(g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\)                

\(\Leftrightarrow f'\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+m-11 \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^4} - 5{x^2} + m - 11 \le - 1,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ 0 \le {x^4} - 5{x^2} + m - 11 \le 1,\forall x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m - 10 \le - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 11 \ge - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ m - 12 \le - {x^4} + 5{x^2},\forall x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.\quad \left( * \right) \end{array}\)

Xét hàm số \(h\left( x \right)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}\) trên \(\left[ 0;1 \right]\)

Tìm được \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)=0,\)\(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right)=4.\)

Do đó 

\(\begin{array}{l} \left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m - 10 \le 0\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 11 \ge 4\\ m - 12 \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le 10\\ \left\{ \begin{array}{l} m \ge 15\\ m \le 12 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 10. \end{array}\)

\(m\) nguyên thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\Rightarrow m\in \left\{ -19,...,10 \right\}\)

\(\Rightarrow \) có 30 giá trị nguyên của m.