Trong hệ trục \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=49\) và \(\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=400\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x-3y+mz+22=0\). Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung?

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \(I\left( 1;-3;2 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=7\); mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \(J\left( 10;9;2 \right)\), bán kính \({{R}_{2}}=20\). Ta có \(\overrightarrow{IJ}\left( 9;12;0 \right)\), \(IJ=15\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):4x-3y+mz+22=0\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 4;-3;m \right)\)

Do \(\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\) nên \(IJ\) song song hoặc chứa trong (P).

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) là \(R=\frac{2\sqrt{p\left( p-7 \right)\left( p-20 \right)\left( p-15 \right)}}{15}=\frac{28}{5}\)  với \(p=\frac{20+7+15}{2}=21\)

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu là (Q): \(3x+4y+30=0\)

Ta có \(d\left( I;(Q) \right)=\frac{21}{5}\), \(d\left( J;(Q) \right)=\frac{96}{5}\) nên \(d\left( I;(Q) \right)+IJ=d\left( J;(Q) \right)\)

Ta có mp(P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn, trong đó đường tròn nhỏ ở trong đường tròn lớn khi \(\frac{28}{5}

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 45{{m}^{2}}-140m>0 \\ & \frac{684}{25}{{m}^{2}}-140m-441<0 \\ \end{align} \right.\)

Và có m nguyên, nên \(m\in \left\{ -2;-1;4;5;6;7 \right\}\).