Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right),\) khi đó \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {x - 2 + \left( {y - 4} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right|\)  
\(\Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 \Leftrightarrow x + y = 4\) 

Mặt khác: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}\)
\(= \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 2\) 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i\).