Tính tổng x+h để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất với x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ có thể tích V

Ta có:  \(V = \pi {x^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}}\)

Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diên tích toàn phần của hộp phải nhỏ nhất.

Ta có:

\({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + 2\pi xh = 2\pi {x^2} + 2\pi x.\frac{V}{{\pi {x^2}}} = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x}\)

Đến đây có 2 cách làm:

+ Cách 1: Đặt  \(f(x) = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x}\)

Tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là diện tích xung quanh nhỏ nhất, từ đó suy ra h.

\(f'(x) = 4\pi x - \frac{{2V}}{{{x^2}}}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4\pi x - \frac{{2V}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {x^3} - 2V}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

\(\Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}} = \frac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

\(\Rightarrow x + h = 3\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

+ Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cô-si:

\({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x} = 2\pi {x^2} + \frac{V}{x} + \frac{V}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {x^2}.\frac{V}{x}.\frac{V}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi:

 \(2\pi {x^2} = \frac{V}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

\(\Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}} = \frac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

\(\Rightarrow x + h = 3\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)