Tính độ dài AH biết H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) biết A(-2;6;3) B(1;0;6) C(0;2;1) D(1;4;0)

1. Viết phương trình mặt phẳng (BCD):

\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2; - 5} \right);\overrightarrow {CD} = \left( {1;2; - 1} \right)\)

\({\overrightarrow n _{(BCD)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {8; - 6; - 4} \right)\)

Mặt phẳng (BCD) qua (1;0;6) và có vtpt \(\overrightarrow n = \left( {8; - 6; - 4} \right)\) .

Nên (BCD) có phương trình: \(8x - 6y - 4z + 16 = 0\)\(\Leftrightarrow 4x - 3y - 2z + 8 = 0\)

2. Tính khoảng cách \(AH = \frac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 8} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{{\sqrt {29} }}\)

Có thể giải bài toán này bằng cách áp dụng tích có hướng tính thể tích khối tứ diện ABCD, diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra được AH.