-
Câu hỏi:
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. Biết \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\frac{{2a}}{3}.\) Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
- A. \(S = 6\pi {a^2}.\)
- B. \(S = 4\pi {a^2}.\)
- C. \(S = 9\pi {a^2}.\)
- D. \(S = 8\pi {a^2}.\)
Đáp án đúng: C
Gọi I là trung điểm của SA, H là trung điểm của BC
Do \(\widehat {SBA} = {90^0} \Rightarrow IS = IA = IB\) và \(\widehat {SCA} = {90^0} \Rightarrow IA = IS = IC\)
\( \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi M là trung điểm của \(AB \Rightarrow MH//AC,MI//SB\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot MH\\AB \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (MIH) \Rightarrow AB \bot IH(1)\)
Mà IB=IC và H là trung điểm của \(BC \Rightarrow IH \bot BC(2)\)
Từ (1),(2) suy ra \(IH \bot (ABC)\)
Dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow AD//BC\)
\( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,(SAD)} \right) = d\left( {H,(SAD)} \right)\)
Kẻ \(HE \bot AD,HF \bot IE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot HE\\AD \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (IHE)\)
\( \Rightarrow AD \bot HF\) mà \(HF \bot IE \Rightarrow HF \bot (SAD) \Rightarrow HF = d\left( {H,(SAD)} \right) = \frac{{2a}}{3}\)
Ta có \(\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{F^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow HI = a\)
Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow HB = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow R = IB = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \frac{{3a}}{2}\)
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = 9\pi {a^2}.\)
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC VỀ MẶT CẦU, DIỆN TÍCH MẶT CẦU, THỂ TÍCH KHỐI CẦU
- Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
- Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình gồm hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình tròn (C) có tâm A, đường kính bằng 14 như hình vẽ quanh trục là đường thẳng AC
- Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN biết M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD của hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a
- Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDcó AB = 4a,CD = 6a các cạnh còn lại đều bằng asqrt {22}
- Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a, AB=b, AC=c
- Một hình nón có bán kính đáy R, đường sinh hợp với mặt đây một góc 30 độ. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón đã cho, tính diện tích của (S)
- Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có tam giác (ABC) vuông tại (B), (AB = a), (BC = asqrt 3 ) và (SA = asqrt 2 ),(SB = asqrt 2 ), (SC = asqrt 5 )
- Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng x. Mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh tứ diện đều ABCD có bán kính bằng:
- Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a
- Cho hai mặt cầu (S1),(S2) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại