-
Câu hỏi:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng x. Mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh tứ diện đều ABCD có bán kính bằng:
- A. \(\frac{{3{\rm{x}}\sqrt 2 }}{4}.\)
- B. \(\frac{{3{\rm{x}}\sqrt 2 }}{2}.\)
- C. \(\frac{{3{\rm{x}}\sqrt 2 }}{6}.\)
- D. \(\frac{{{\rm{x}}\sqrt 2 }}{4}.\)
Đáp án đúng: D
Do tứ diện ABCD đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh cũng trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Suy ra H chính là trọng tâm tam giác BCD.
Khi đó AH chính là trục đường tròn ngoài tiếp tam giác BCD.
Gọi K là trung điểm của AB.
Mặt phẳng trung trực của AB qua K cắt AH tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD.
Ta có: \(r = IK.\) Mặt khác \(\Delta AKI \sim \Delta AHB \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{IK}}{{HB}}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{2{\rm{A}}H}} = \frac{{IK}}{{HB}},\) trong đó \(AB = x,\,\,HB = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}.\)
\(AH = \sqrt {A{B^2} - H{B^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow r = IK = \frac{{x\sqrt 2 }}{4}.\)
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC VỀ MẶT CẦU, DIỆN TÍCH MẶT CẦU, THỂ TÍCH KHỐI CẦU
- Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a
- Cho hai mặt cầu (S1),(S2) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại
- Cho mặt cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng 16pi (đvdt). Tính thể tích khối cầu.
- Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60 độ.
- Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 3sqrt 2 và đường cao bằng 3sqrt 3 .
- Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2.
- Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng 3a và chiều cao bằng 8a.
- Cho hình tròn có bán đáy bằng 2 và hình vuông có cạnh bằng 4 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của hình vuông là tâm của hình tròn (như hình vẽ bên).
- Cho (S) là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh a. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
- Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân và có độ dài các cạnh AB = BC = 2,AA = 2sqrt 2.