Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có tam giác (ABC) vuông tại (B), (AB = a), (BC = asqrt 3 ) và (SA = asqrt 2 ),(SB = asqrt 2 ), (SC = asqrt 5 )

Tam giác \(SBC\) có \(B{C^2} + S{B^2} = S{C^2}\).

Nên tam giác \(SBC\) vuông tại \(B.\) Hay \(CB \bot SB\).

Lại có: \(CB \bot AB\). Suy ra \(CB \bot \left( {SAB} \right)\).

Có \(SA = SB = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAB\) cân tại \(S\).

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\), khi đó \(O \in SN\), với \(N\) là trung điểm của \(AB\).

Dựng \({\rm{Ox}}\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\left( {SB;{\rm{Ox}}} \right)\) dựng đường trung trực của \(BC\) cắt \({\rm{Ox}}\) tại \(I.\) Khi đó, \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)..

Có \(SN = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Có: \({S_{\Delta SAB}} = \frac{{SB.SA.AB}}{{4R}} = \frac{1}{2}SN.AB\) \( \Leftrightarrow R = \frac{{SB.SA}}{{2SN}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy bán kính mặt cầu : \(CI = \sqrt {C{M^2} + M{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {259} }}{{14}}.\)