Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z thỏa điều kiện |z-i|=|z ngang-2-3i|

Đặt \(z = a + bi\) với \(a,b \in R\) thì ta có:

\(\left| {a + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 2) - (b + 3)i} \right|\)

\(\Leftrightarrow {a^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 2)^2} + {(b + 3)^2}\)

\(\Leftrightarrow {a^2} + {{\bf{b}}^2} - 2b + 1 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} + 6b + 9\)

\(\Leftrightarrow a - 2b - 3 = 0\)

Suy ra z nằm trên đường thẳng d có phương trình: x-2y-3=0.

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có môđun nhỏ  nhất trên mặt phẳng phức.

Khi đó \(\left| z \right|\min\) khia và chỉ khi \(OM\min\) hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d và ta tìm được  \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{6}{5}} \right)\).

Vậy môđun nhỏ nhất cần tìm là: \(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).