Tìm m để hàm số y=(mx)/(x^2+1) đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên [-2;2]

Xét m=0 thì y=0 là hàm hằng, không thỏa yêu cầu bài toán.

Với  \(m \ne 0\), ta có:

\(\begin{array}{l} y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y' = \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi:

\(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { - 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { - 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2} > - \frac{{2m}}{5}\\ \frac{m}{2} > - \frac{m}{2}\\ \frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)