Tìm số nghiệm của phương trình {2^x} + {3^x} + {4^x} + ... + {2016^x} + {2017^x} = 2016 - x.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x} + {3^x} + {4^x} + ... + {2016^x} + {2017^x}\\g\left( x \right) = 2016 - x\end{array} \right. \Rightarrow PT \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3 + ... + {2016^x}\ln 2016 + {2017^x}\ln 2017 > 0\\g'\left( x \right) =  - 1 < 0\end{array} \right.,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \(PT \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy x = 0 là nghiệm của \(PT \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\), suy ra PT ban đầu có 1 nghiệm.