Gọi V là thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số sqrt {frac{{ln { m{x}}}}{{x{{left

Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^e {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}d{\rm{x}}} \)

Đặt \(t = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Vậy: \(V = \pi \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^2}}}dt}  = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)\)

Suy ra: \(a = 1;\,\,b =  - \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = 0\)