Một vật hình trụ tiết diện nhỏ, có chiều cao \(20\;{\rm{cm}}\), nổi thẳng đứng trong một bể nước rộng. Bỏ qua mọi lực cản, lấy \(g = 10\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\). Khi cân bằng, một nửa vật bị chìm trong nước và mép dưới của vật cách đáy bể một đoạn đủ dài. Từ vị trí cân bằng của vật, truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng \(1,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) hướng thẳng đứng xuống dưới. Kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến lúc vận tốc của vật triệt tiêu lần đầu tiên thì tốc độ trung bình của vật gần nhất với giá trị nào sau đây?

Đáp án : C

Khi vật cân bằng, tác dụng vào vật có trọng lực và lực đẩy Ác-si-mét:

\(P = {F_A} \Rightarrow V{D_v}g = \frac{V}{2}{D_n}g \Rightarrow {D_n} = 2{D_v}\)

Chọn trục \(Ox\) thẳng đứng hướng xuống:

Khi vật chuyển động thì tác dụng vào vật có

\({F_{kv}} = P - {F_A} \Leftrightarrow {F_{kv}} = mg - \frac{{{D_n}\left( {\frac{h}{2} + x} \right)}}{{{D_v}.h}}mg = \frac{{ - 2mg}}{h}x = - m{\omega ^2}x\)

Tần số góc của dao động là:

\(\omega = \sqrt {\frac{{2g}}{h}} = = \sqrt {\frac{{2.10}}{{0,2}}} = 10\left( {rad/s} \right)\)

Biên độ dao động của vật là: \(A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{150}}{{10}} = 15\left( {cm} \right)\)

Nhận xét: \(A > \frac{h}{2} \to \) Vật đi xuống 1 đoạn bằng \({S_1} = \frac{h}{2} = 10\,cm\), khi này vật chìm hoàn toàn trong nước và có tốc độ là:

\(v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}} = 10\sqrt {{{15}^2} - {{10}^2}} = 0,5\sqrt 5 \left( {m/s} \right)\).

Thời gian vật đi hết quãng đường \({S_1}\) là: \({t_1} = \frac{\alpha }{\omega } = \frac{{\arcsin \left( {\frac{{10}}{{15}}} \right)}}{{10}}\)

Theo định luật II Niu – tơn:

\(\begin{array}{l}{F_{kv}} = P - {F_A} \Rightarrow ma = mg - {D_n}.V.g\\ \Rightarrow {D_v}.V.a = {D_v}.V.g - {D_n}.V.g\end{array}\)

Lúc này vật chuyển động chậm dần với gia tốc là

\(a = \left( {1 - \frac{{{D_n}}}{{{D_v}}}} \right)g = - g = - 10\left( {m/{s^2}} \right)\)

Do đó quãng đường và thời gian vật đi tiếp đến khi dừng là:

\(\left\{ \begin{array}{l}S = \frac{{{v^2}}}{{2\left| a \right|}} = \frac{1}{{16}}m = 6,25\left( {cm} \right)\\{t_2} = \frac{v}{{\left| a \right|}} = \frac{1}{{4\sqrt 5 }}\left( s \right)\end{array} \right.\)

Tốc độ trung bình của vật là:

\({v_{tb}} = \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \frac{{10 + 6,25}}{{\frac{{ar\sin \left( {\frac{{10}}{{15}}} \right)}}{{10}} + \frac{1}{{4\sqrt 5 }}}} \approx 87,94\left( {cm/s} \right)\)