Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng (P) chia hình nón làm hai phần (N1) và (N2).

Câu hỏi:
Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng (P) chia hình nón làm hai phần (N₁) và (N₂). Cho hình cầu nội tiếp (N₂) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của (N₂). Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt (N₂) theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là
- A. 2
- B. 4
- C. 1
- D. \(\sqrt3\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ.

Gọi \(\alpha\) là góc cần tìm.

Xét tam giác AHD vuông tại H có \(DH = h\,,\,AH = R - r \Rightarrow h = 2{r_0} = AH.tam\alpha = \left( {R - r} \right)\tan \alpha \,\left( 1 \right)\)

Thể tích khối cầu là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 = \frac{{\pi {h^3}}}{6}\)

Thể tích của (N₂) là \({V_2} = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right)\)

\(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {h^2} = {R^2} + {r^2} + Rr\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có BC = R + r (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \({h^2} = B{C^2} - {\left( {R - r} \right)^2} = 4Rr\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 2 \right)\,,\,\left( 3 \right)\, \Rightarrow {\left( {R - r} \right)^2} = Rr\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\,,\,\left( 3 \right)\,,\,\left( 4 \right) \Rightarrow {h^2} = {\left( {R - r} \right)^2}.{\tan ^2}\alpha = 4{\left( {R - r} \right)^2}\) (vì \(\alpha\) là góc nhọn)

\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \tan \alpha = 2\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE