Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới.

Ta có

\(\begin{array}{l} g'\left( x \right) = \left( {4{x^3} - 4x} \right)f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\\ g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4{x^3} - 4x = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right){\rm{ = 0 }}\left( 2 \right) \end{array} \right. \end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1\\ x = 0 \end{array} \right.\)      

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^4} - 2{x^2} + m = - 2\\ {x^4} - 2{x^2} + m = - 1\\ {x^4} - 2{x^2} + m = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = {x^4} - 2{x^2} + 2 = {g_1}\left( x \right)\\ - m = {x^4} - 2{x^2} + 1 = {g_2}\left( x \right)\\ - m = {x^4} - 2{x^2} - 3 = {g_3}\left( x \right) \end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên của các hàm số \({g_1}\left( x \right),{g_2}\left( x \right),{g_3}\left( x \right)\) như hình vẽ:

Từ bảng biến trên, ta dễ thấy: với \(- m \le - 4 \Leftrightarrow m \ge 4\) hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị.

Do đó: \(S = \left\{ {4;5;6;7;...;2020} \right\}\)

Vậy tổng tất cả các phần tử của  là: \(4 + 5 + 6 + ... + 2020 = \frac{{\left( {4 + 2020} \right)2017}}{2} = 2041204\).