Lấy một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số ta được tích là 684. Nếu lấy số được viết bởi hai số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số, ta được tích là 900

Gọi sô cần tìm là \(\bar{ab}(a;b\epsilon \mathbb{N};a,b\epsilon \begin{Bmatrix} 1;9 \end{Bmatrix})\)

Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} (10a+b)(a+b)=684\\ (10b+a)(a+b)=900 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a^2+11ab+b^2=684\\ 10b^2+11ab+a^2=900 \end{matrix}\right.\)

Trừ theo vế, ta có: \(9(b^2-a^2)=216\Leftrightarrow (b+a)(b-a)=24\)

Do a và b là các số tự nhiên nên hiển nhiên \(b+a>2\Rightarrow b-a>0\)

Ta có bộ các cặp số có thể thỏa đẳng thức trên đó là \((6;4);(24;1);(12;2);(8;3)\)

Với \(\left\{\begin{matrix} a+b=6\\ b-a=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=1 ; b=5\) ta được số 15 nhưng thử lại không phù hợp nên ta loại

Với \(\left\{\begin{matrix} a+b=24\\ b-a=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=11,5 ; b=12,5\) không thuộc số tự nhiên ta loại

Với \(\left\{\begin{matrix} a+b=8\\ b-a=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=2,5 ; b=5,5\)không thuộc số tự nhiên ta loại

Với \(\left\{\begin{matrix} a+b=12\\ b-a=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=5 ; b=7\) Ta thấy số 57 phù hợp yêu cầu bài toán

Vậy số cần tìm là 57