Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{34}{\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3x+2m \right)}^{2}}}+1}\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

Gọi \(g\left( x \right)=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3x+2m \right)}^{2}}}=\left| {{x}^{3}}-3x+2m \right|\)

Trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\) ta thấy: \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=2\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Max}}\,g\left( x \right)=16\)

Xét hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2m\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\)

\(y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\)

\(y\left( 0 \right)=2m;y\left( 1 \right)=2m-2;y\left( 3 \right)=2m+18\)

Với \(\forall m\) ta luôn có: \(2m+18>2m>2m-2.\) Do đó, xảy ra hai trường hợp sau:

* TH1: Nếu \(\left| 2m-2 \right|\ge \left| 2m+18 \right|\) thì \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Max}}\,g\left( x \right)=\left| 2m-2 \right|\)

Khi đó: \(\left| {2m - 2} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2m - 2 = 16 \Leftrightarrow 2m = 18 \Leftrightarrow m = 9\left( {Loai} \right)\\ 2m - 2 = - 16 \Leftrightarrow 2m = - 14 \Leftrightarrow m = - 7\left( {thoa{\rm{ }}man} \right) \end{array} \right.\)

* TH2: Nếu \(\left| 2m-2 \right|<\left| 2m+18 \right|\) thì \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Max}}\,g\left( x \right)=\left| 2m+18 \right|\)

Khi đó: \(\left| {2m + 18} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2m + 18 = 16 \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1\left( {thoa{\rm{ }}man} \right)\\ 2m + 18 = - 16 \Leftrightarrow 2m = - 34 \Leftrightarrow m = - 17\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)

Vậy tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng \(\left( -7 \right)+\left( -1 \right)=-8.\)