Đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=\frac{2x+1}{x+1}\) cắt đường thẳng \(d:y=x+m\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thỏa mãn \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) khi \(m=\frac{a}{b}.\) Biết \(a,b\) là nguyên dương; \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(S=a+b.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là: \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ne 0\\ 2x + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + m} \right) \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\left( 1 \right) \end{array} \right.\)

\(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\text{ }({{x}_{A}},{{x}_{B}}\) là nghiệm phương trình

\(\left( 1 \right)) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{\left( 1 \right)}} > 0\\ {\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) + m - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\ 1 - m + 1 + m - 1 \ne 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) > 0\\ 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 1\\ m > 5 \end{array} \right.\)

Theo định lí Viet: \({{x}_{A}}+{{x}_{B}}=1-m,{{x}_{A}}{{x}_{B}}=m-1\)

\(A\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m \right),B\left( {{x}_{B}};{{x}_{B}}+m \right)\)

\(\overrightarrow{OA}=\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m \right),\overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{B}},{{x}_{B}}+m \right)\)

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{A}}.{{x}_{B}}+\left( {{x}_{A}}+m \right)\left( {{x}_{B}}+m \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}_{A}}{{x}_{B}}+m\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}} \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 2m-2+m\left( 1-m \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\) (nhận)

Theo đề bài ta có \(a=2,b=3.\) Vậy \(S=5.\)