Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Biết rằng hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( \frac{{{x}^{4}}}{2}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x+1 \right)\) là

Đặt \(t={{x}^{2}}-2x\) (với \(t\ge -1),\) phương trình (*) trở thành: \(f'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=t-1\left( 1 \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và đồ thị đường thẳng \(\left( d \right):y=x-1\)

\(\Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(\left\{ -1;1;2;3 \right\}\)

* \(t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=-1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

* \(t=1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow x-1=\pm \sqrt{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}+1\)

* \(t=2\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=2\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}+1\)

* \(t=3\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=3\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Phương trình \(g'\left( x \right)=0\) có 6 nghiệm đơn là \(x=-1;x=\pm \sqrt{2}+1;x=\pm \sqrt{3}+1;x=3\) và có 1 nghiệm bội lẻ là \(x=1.\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( \frac{{{x}^{4}}}{2}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x+1 \right)\) có 7 điểm cực trị.