Gọi \(m,n\) là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) và \(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - y - 6z + 3 = 0\). Tính \(m + n\).

Giao tuyến của \(\left( {{P_m}} \right),\left( {{Q_m}} \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) hay \(\left( {{P_m}} \right)\) và \(\left( {{Q_m}} \right)\) đều vuông góc \(\left( \alpha  \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) có phương vuông góc với \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {m;2;n} \right)\)

           \(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - m;n} \right)\)

            \(\left( \alpha  \right):4x - y - 6z + 3 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4; - 1; - 6} \right)\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 2.\left( { - 1} \right) + n.\left( { - 6} \right) = 0\\4 + \left( { - 1} \right).\left( { - m} \right) + \left( { - 6} \right).n = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 6n = 2\\m - 6n =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 3\)

Chọn A.