Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) , đường thẳng \((d):y = m(x + {\rm{ }}1)\) với \(m\) là tham số, đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = 2x - 7.\) Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt \(A( - 1;0);{\rm{ }}B;{\rm{ }}C\) sao cho \(B,C\) cùng phía với \(\Delta \) và \(d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 4 = m\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = m\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} - m\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - m} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} = m\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( { - 1 - 2} \right)^2} \ne m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 9\end{array} \right.\)

Khi đó hoành độ các giao điểm là \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} = m\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \sqrt m  + 2\\x =  - \sqrt m  + 2\end{array} \right.\)

Vì các giao điểm cũng thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có tung độ các giao điểm là

\(x =  - 1 \Rightarrow y = m\left( { - 1 + 1} \right) = 0\); \(x = \sqrt m  + 2 \Rightarrow y = m\left( {\sqrt m  + 2 + 1} \right) = m\sqrt m  + 3m\);

\(x =  - \sqrt m  + 2 \Rightarrow y = m\left( { - \sqrt m  + 2 + 1} \right) =  - m\sqrt m  + 3m\)

Nên tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là \(A\left( { - 1;0} \right);B\left( {\sqrt m  + 2;m\sqrt m  + 3m} \right);C\left( { - \sqrt m  + 2; - m\sqrt m  + 3m} \right)\)

Vì B, C nằm cùng phía với \(\left( \Delta  \right):y = 2x - 7 \Leftrightarrow y - 2x + 7 = 0\) nên

\(\left( {{y_B} - 2{x_B} + 7} \right)\left( {{y_C} - 2{x_C} + 7} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right)\left( { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right) > 0\)

Hay \(\left( {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right);\left( { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right)\) cùng dấu.

Ta có \(d\left( {B;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }};d\left( {C;\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l}d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\left| { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \end{array}\)

Mà \(\left( {m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3} \right);\left( { - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3} \right)\) cùng dấu, nên

\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m\sqrt m  + 3m - 2\sqrt m  + 3}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{ - m\sqrt m  + 3m + 2\sqrt m  + 3}}{{\sqrt 5 }}} \right| = 6\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow 2m\sqrt m  + 2m\) \(\left| {6m + 6} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 5\\m + 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 6\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 4\) là giá trị cần tìm.

Chọn D.