Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB = BC = a;{\rm{ }}AD = 2a.\) Tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác \(S.ABC.\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\) suy ra \(AE = \dfrac{{AD}}{2} = a = AB = BC\)

Mà \(BC//AD\) và \(BC \bot AD\) nên \(EABC\) là hình vuông cạnh \(a.\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\end{array} \right.\)  mà \(SE \bot AD\) (do tam giác \(SAD\) đều có \(SE\) là trung tuyến)

Suy ra \(SE \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SE \bot \left( {EABC} \right)\)

Nhận thấy \(EABC\) là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp \(EABC\) cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)

Hay mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.EABC\).

Mà hình chóp \(S.EABC\) có cạnh bên \(SE \bot \left( {EABC} \right)\) và đáy \(EABC\) là hình vuông cạnh \(a.\)  Gọi \(I\) là tâm hình vuông \(EABC\)

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.EABC\) là \(R = \sqrt {I{E^2} + \dfrac{{S{E^2}}}{4}} \)

Ta có \(BE = \sqrt {A{E^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow IE = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(2a\) có \(SE\) là trung tuyến nên \(SE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Suy ra \(R = \sqrt {I{E^2} + \dfrac{{S{E^2}}}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{5{a^2}}}{4} = 5\pi {a^2}\)

Chọn B.