Gọi \({m_0}\) là giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 2\) có ba điểm cực trị \(A,\,B,\,C\) tạo thành một tam giác sao cho trục \(Ox\) chia tam giác đó thành \(2\) phần có diện tích lần lượt bằng \({S_1},\,\,{S_2}\) và \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{1}{3}\), trong đó \({S_2}\) là diện tích của phần nằm dưới \(Ox\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

TXĐ:  \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = {x^4} + 2m{x^2} + 2\\ \Rightarrow y' = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - m\end{array} \right.\end{array}\)

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình \({x^2} =  - m\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Suy ra \(m < 0\)

Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là  \(A\left( {0;2} \right);\,\,\,B\left( {\sqrt { - m} ; - {m^2} + 2} \right);\,\,\,C\left( { - \sqrt { - m} ; - {m^2} + 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là   \(y =  - {m^2} + 2\)

Gọi giao\(AB\) và \(AC\) với trục \(Ox\) lần lượt là \(M,\,\,N\). Suy ra \({S_1} = {S_{\Delta AMN}}\)

Ta có:

\(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{MNBC}}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}\)

 Ta thấy \(Ox//BC\) hay \(MN//BC\). Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là giao điểm của \(Oy\) với  \(BC\) và \(MN\).

\(A\) nằm trên \(Ox\) mà \(Ox//BC\) nên \(AH \bot BC,\,\,\,AK \bot MN\)

Suy ra     \(\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{AK}}{{AH}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\)

\(A\left( {0;2} \right)\), \(K\) là giao điểm của \(Oy\) và \(MN\) mà \(MN \in Ox\) nên \(K\left( {0;0} \right)\)

Suy ra \(AK = 2\) \( \Rightarrow AH = 4\)

\(H\) là giao của \(BC\) và \(Ox\) nên \(H\left( {0; - {m^2} + 2} \right)\), \(H\) nằm dưới trục hoành. Suy  ra

\( - {m^2} + 2 =  - 2 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2\)

Mà \(m < 0\) nên \(m =  - 2\)

Vậy \({m_0} \in \left( { - 3;1} \right)\)

Đáp án  A