Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\)

Suy ra \(A,\,\,G,\,\,M\) thẳng hàng và \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

\(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\). Suy ra \(I\) nằm trên \(SG\)

Ta có:

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(2a\) nên \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \sqrt 3 a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)

\(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\)

Do đó, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc giữa \(SM\) và \(AM\) hay \(\widehat {SMA} = 45^\circ \). Suy ra, 

 \(SG = GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)

\(I\)  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) nên \(R = IS = IA = IB = IC\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}SI = R \Rightarrow IG = SG - SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R\\A{G^2} + I{G^2} = A{I^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R} \right)^2} = {R^2}\\ \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}a\end{array}\)   

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{125\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}\)

Đáp án  D