Có bao nhiêu số nguyên y trong đoạn \(\left[ -2021;2021 \right]\) sao cho bất phương trình \({{\left( 10x \right)}^{y+\frac{\log x}{10}}}\ge {{10}^{\frac{11}{10}\log x}}\) đúng với mọi x thuộc \(\left( 1;100 \right)\):

\({{\left( 10x \right)}^{y+\frac{\log x}{10}}}\ge {{10}^{\frac{11}{10}\log x}}\Leftrightarrow \left( y+\frac{\log x}{10} \right)\log \left( 10x \right)\ge \frac{11}{10}\log x \Leftrightarrow \left( y+\frac{\log x}{10} \right)\left( 1+\log x \right)\ge \frac{11}{10}\log x\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(\log x=t\). Ta có \(x\in \left( 1;100 \right)\Rightarrow \log x\in \left( 0;2 \right) t\in \left( 0;2 \right)\). Bất phương trình trở thành

\(\left( y+\frac{t}{10} \right)\left( t+1 \right)\ge \frac{11}{10}t\,\,\left( 2 \right)\Leftrightarrow y\left( t+1 \right)\ge \frac{-{{t}^{2}}+10t}{10} \Leftrightarrow \frac{-{{t}^{2}}+10t}{10\left( t+1 \right)}\le y\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{-{{t}^{2}}+10t}{10\left( t+1 \right)}\) trên khoảng \(\left( 0;2 \right)\), ta có \({f}'\left( t \right)=\frac{-{{t}^{2}}-2t+10}{10{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow {f}'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\in \left( 0;2 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right)<f\left( t \right)<f\left( 2 \right),\,\,\forall t\in \left( 0;2 \right) \Leftrightarrow 0<f\left( t \right)<\frac{8}{15},\,\,\forall t\in \left( 0;2 \right)\).

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \left( 2 \right)\) đúng với mọi \(t\in \left( 0;2 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right)\le y,\,\,\forall t\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow y\ge \frac{8}{15}\)

Kết hợp với điều kiện \(y\in \left[ -2021;2021 \right]\Rightarrow y\in \left[ \frac{8}{15};2021 \right]\).

Vậy có tất cả 2021 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán.