Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( 2;1;3 \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y-z-3=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là

Mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36,\) có tâm \(I\left( 3;2;5 \right)\) và bán kính R=6.

Ta có: \(\overrightarrow{EI}=\left( 1;1;2 \right)\Rightarrow EI=\left| \overrightarrow{EI} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R.\) Do đó điểm E nằm trong mặt cầu \(\left( S \right).\)

Ta lại có: \(E\in \left( P \right)và \left\{ \begin{align} & E\in \Delta \\ & \Delta \subset \left( P \right) \\ \end{align} \right.\) nên giao điểm của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( S \right)\) nằm trên đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) tâm K của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Giả sử \(\Delta \cap \left( S \right)=\left\{ A;B \right\}\). Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( K\,,\,\Delta  \right)\) lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên \(\left( \Delta  \right)\) khi đó \(d\left( K;\Delta  \right)=KF\le KE\).

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(F\equiv E.\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & IK\bot \left( P \right) \\ & KE\bot \Delta \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & IK\bot \Delta \\ & KE\bot \Delta \\ \end{align} \right.\Rightarrow IE\bot \Delta \).

Ta có: \(\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\,,\,\overrightarrow{EI} \right]=\left( 5\,;\,-5\,;\,0 \right)\), cùng phương với \(\vec{u}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{align} & \Delta \subset \left( P \right) \\ & \Delta \bot IE \\ \end{align} \right.\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-t \\ & z=3 \\ \end{align} \right.\).