Có bao nhiêu số a thuộc (0;20pi) sao cho tích phân 0 đến a sin^5(x).sin2xdx=2/7

Ta có \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x\sin 2xdx = \frac{2}{7}}  \Leftrightarrow 2\int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx = \frac{2}{7}}  \Leftrightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx}  = \frac{1}{7}\)

Đặt:

\(\begin{array}{l}t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = a \Rightarrow t = \sin a\end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx}  = \int\limits_0^{\sin a} {{t^6}dt}  = \left. {\frac{1}{7}{t^7}} \right|_0^{\sin a} = \frac{1}{7}\\ \Rightarrow {\sin ^7}a = 1 \Leftrightarrow \sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)  

Mặt khác \(a \in \left( {0;20\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi  < 20\pi  \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{2} < k2\pi  < \frac{{39\pi }}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < k < \frac{{39}}{4}\)

\(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) .

Suy ra có 10 số a thỏa mãn đề bài.