Có bao nhiêu \(m\) nguyên \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để phương trình \({{6}^{x}}-2m={{\log }_{\sqrt[3]{6}}}\left( 18\left( x+1 \right)+12m \right)\) có nghiệm?

Phương trình \({{6}^{x}}-2m={{\log }_{\sqrt[3]{6}}}\left( 18\left( x+1 \right)+12m \right)\Leftrightarrow {{6}^{x}}=2m+3{{\log }_{6}}\left[ 6\left( 3x+2m+3 \right) \right]\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{6}^{x}}=2m+3\left[ 1+{{\log }_{6}}\left( 3x+2m+3 \right) \right] \\ & \Leftrightarrow {{6}^{x}}=3{{\log }_{6}}\left( 3x+2m+3 \right)+2m+3,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Đặt \(y={{\log }_{6}}\left( 3x+2m+3 \right)\Leftrightarrow {{6}^{y}}=3x+2m+3,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, PT(*) trở thành: \({{6}^{x}}=3y+2m+3,\,\left( 2 \right)\)

Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được

\({{6}^{y}}-{{6}^{x}}=3x-3y\Leftrightarrow {{6}^{x}}+3x={{6}^{y}}+3y\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{6}^{t}}+3t,\,\,t\in \mathbb{R}.\)

Ta có \(f'\left( t \right)={{6}^{t}}\ln 6+3>0,\,\forall t\in \mathbb{R}.\) Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Mà PT (3) \(f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y.\)

Thay \(y=x\) vào PT (1), ta được \({{6}^{x}}=3x+2m+3\Leftrightarrow {{6}^{x}}-3x=2m+3\).

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{6}^{x}}-3x\), với \(x\in \mathbb{R}\). Ta có \(g'\left( x \right)={{6}^{x}}\ln 6-3\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{6}}\left( \frac{3}{\ln 6} \right)\)

BBT:

Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow 2m+3\ge g\left( {{\log }_{6}}\frac{3}{\ln 6} \right)\approx 0,81\Rightarrow m\ge -1,095\)

Vậy có 2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.