Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường tròn (I).

a) Gọi F là tiếp điểm của BC với đường tròn (I)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AD = AE; BD = BF; CE = CF

Suy ra: AB + AC – BC = (AD + DB) + (AE+ CE) – (BF + CF)

= AD + AE = 2AD.

b) Gọi S là giao điểm của BI và MN. Ta cần chứng minh: D, E, S thẳng hàng.

Thật vậy:

Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AB

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {BSM}{\rm{ (hai goc so le trong);}}\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\\
 \Rightarrow \widehat {BSM} = \widehat {{B_1}}
\end{array}\)

Suy ra tam giác MBS cân tại M nên MB = MS = MC.

Tam giác BSC có đường trung tuyến SM = 1/2 BC nên tam giác BSC vuông tại S.

Ta có: Tứ giác IECF và IESC là các tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính IC)

nên 5 điểm I, E, S, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính IC

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {SEC} = \widehat {SIC}{\rm{ ; }}\widehat {SIC} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}{\rm{ }}(goc{\rm{ }}ngoai{\rm{ cua tam giac)}}\\
 \Rightarrow \widehat {SEC} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}{\rm{  (1)}}
\end{array}\)

Lại có tam giác ADE cân tại A

 nên: \(\widehat {AED} = \widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat A}}{2} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {SEC} = \widehat {AED}\) mà A, E, C thẳng hàng nên D, E, S thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.