1. Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa . Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.2.

1. Cách 1: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Leftrightarrow bc = a(b + c){\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{abc = }}{{\rm{a}}^2}{\rm{(b + c) (2)}}\)

Ta thấy a, b, c không thể đều là số lẻ vì nếu vây thì abc là số lẻ, còn b+c là số chẵn.

Vậy trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn.

Nếu a chẵn thì a² chia hết cho 4, từ (2) suy ra abc chia hết cho 2.

Nếu b chẵn, do a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy ra c chẵn. Vậy abc chia hết cho 2.

Tương tự cho trường hợp c chẵn.

Cách 2: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Leftrightarrow bc = a(b + c){\rm{  (1)}}\)

TH1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra \(a(b + c){\rm{  }} \vdots {\rm{2}}\), theo (1) Suy ra: \({\rm{b}}{\rm{.c  }} \vdots {\rm{2}}\)

Vậy abc chia hết cho 4

TH2: Nếu a là số nguyên lẻ. Với b và c là hai số cũng lẻ thì: \(b + c \vdots 2 \Rightarrow a(b + c) \vdots 2\)

Mà \(a.b.c\) không chia hết cho 2 (vì a, b, c đều lẻ). Suy ra mâu thuẫn.

Vậy trong hai số b, c tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
+ Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)

Suy ra abc chia hết cho 4

+ Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4

2. Cách 1: Dùng hàm Ơle:

Phân tích số m ra thừa số nguyên tố: \(m = p_1^x.p_2^y.p_3^z...\)

Số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m là

\(\varphi \left( m \right) = m\left( {1 - \frac{1}{{{p_1}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{p_2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{p_3}}}} \right)....\)

Ta có: \(999 = {3^3}.37 \Rightarrow \varphi (999) = 999.\left( {1 - \frac{1}{3}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{37}}} \right) = 648\)

Có 648 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 999.

Vây có 649 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 1000.

Cách 2:

Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000. Suy ra A = 1000

B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà  không nguyên tố cùng nhau với 999.

C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999

Ta có: \(999 = {3^3}.37\)

B = (Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3) – (Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3)

+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3 là: \(\frac{{999 - 3}}{3} + 1 = 333\)

+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 là: \(\frac{{999 - 37}}{{37}} + 1 = 27\)

+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết cho 111) là:

+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3 là:

Suy ra B = 333+ 18 = 351.    Vậy C= A – B = 1000 – 351 = 649