Cho số phức z thỏa mãn |z-2-3i|=1. Tìm giá trị lớn nhất của w=|z ngang+1+i|

Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {z - 2 - 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = 1\)

\(\Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\) 

Đặt \(a - 2 = \sin t;b - 3 = \cos t.\) Khi đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {1 - b} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}}\) 

Ta có  \({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {\sin t + 3} \right)^2} + {\left( {\cos t + 2} \right)^2}\)

\(= 14 + 6\sin t + 4\cos t \ge 14 + \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 14 + 2\sqrt {13}\)

Do đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| \ge 1 + \sqrt {13}\)