Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn phương trình | {2z - i} | = | {2 + iz} |, biết |{{z_1} - {z_2}}| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = |{{z_1} + {z_2}}|

Đặt \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}),\) ta có \(2z - i = 2x + 2(y - 1)i\) và \(2 + iz = 2 - y + xi.\)

Khi đó:

 \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + {{(2y - 1)}^2}}  = \sqrt {{{(y - 2)}^2} + {x^2}}  \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z{}_1} \right| = 1\\\left| {z{}_2} \right| = 1\end{array} \right.\)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) là đường tròn tâm O, \(R = 1.\)

Gọi\({M_1}({z_1}),{M_2}({z_2}) \Rightarrow O{M_1} = O{M_2} = 1.\)

Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right| = 1 \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) đều.

Mà \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\) với M là điểm thỏa mãn \(O{M_1}M{M_2}\) là hình thoi cạnh 1 \( \Rightarrow OM = \sqrt 3  \Rightarrow P = \sqrt 3 .\)