Gọi M là điểm biểu diễn số phức w=(z-z ngang+1)/(z^2) trong đó z là số phức thỏa mãn (1-i)(z+2i). Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho (vtOx, vtON)=2 varphi

\(\left( {1 - i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 2 - i + 3z \Leftrightarrow  - \left( {1 - i} \right)z + 3z = \left( {1 - i} \right).2i - 2 + i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 3i\)

\( \Leftrightarrow z = \frac{{3i}}{{2 + i}} = \frac{{3 + 6i}}{5}\) \( \Rightarrow w = \frac{{z - \overline z  + 1}}{{{z^2}}} = \frac{{\frac{{3 + 6i}}{5} - \frac{{3 - 6i}}{5} + 1}}{{{{\left( {\frac{{3 + 6i}}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {5 + 12i} \right).5}}{{ - 27 + 36i}} = \frac{{22 - 56i}}{{45}} = \frac{{13}}{9}\left( {\frac{{33}}{{65}} - \frac{{56}}{{65}}i} \right)\)

Đặt \(\cos \varphi  = \frac{{33}}{{65}};\sin \varphi  =  - \frac{{56}}{{65}}\) với \(\varphi \) là góc tọa bởi \(\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} \)

\( \Rightarrow \cos 2\varphi  = 2{\cos ^2}\varphi  - 1 =  - \frac{{2047}}{{4225}} < 0\); \(\sin 2\varphi  = 2\sin \varphi \cos \varphi  = 2.\frac{{33}}{{65}}\left( { - \frac{{56}}{{65}}} \right) =  - \frac{{3696}}{{4225}} < 0\)

Suy ra N thuộc góc phần tư thứ ba.