Cho phương trình \(m{{\ln }^{2}}(x+1)-(x+2-m)\ln (x+1)-x-2=0\) \(\left( 1 \right)\). Tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0<{{x}_{1}}<2<4<{{x}_{2}}\) là khoảng \(\left( a;+\infty \right)\). Khi đó, a thuộc khoảng

Với điều kiện x > -1, ta biến đổi phương trình (1) tương đương với:

\(\left[ {\ln (x + 1) + 1} \right].\left[ {m\ln (x + 1) - (x + 2)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \ln (x + 1) + 1 = 0 & & \,\,\,\,\,(a)\\ m\ln (x + 1) - (x + 2) = 0\,\,\,\,\,(b) \end{array} \right.\)

Phương trình \((a) \Leftrightarrow \ln (x + 1) =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e} - 1 < 0\) (loại).

Phương trình \((b) \Leftrightarrow m\ln (x + 1) = x + 2\). Vì m = 0 không thỏa mãn phương trình nên:

\((b) \Leftrightarrow \frac{{\ln (x + 1)}}{{x + 2}} = \frac{1}{m}\) (*)

Khi đó, YCBT trở thành phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\)

Đặt \(f(x) = \frac{{\ln (x + 1)}}{{x + 2}},\,\,x >  - 1\). Khi đó:

\(f'(x) = \frac{{\frac{{x + 2}}{{x + 1}} - \ln (x + 1)}}{{{{(x + 2)}^2}}}\,,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = \ln (x + 1)\)

Vì vế trái là hàm nghịch biến và vế phải là hàm đồng biến trên khoảng \(( - 1; + \infty )\) nên phương trình có tối đa 1 nghiệm. Mặt khác, \(f'(2) > 0,\,\,f'(3) < 0\) nên phương trình f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất \({x_0} \in \left( {2;3} \right)\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) khi và chỉ khi

\(f(0) < \frac{1}{m} < f(4) \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{m} < \frac{{\ln 5}}{6} \Leftrightarrow m > \frac{6}{{\ln 5}} \approx 3,72\).

Vậy \(a \approx 3,72 \in (3,7;3,8)\).