Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón có diện tích xung quanh của hình nón \(8\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}\). Góc giữu đường sinh hình nón và mặt đáy là \({{30}^{0}}\). Tính thể tích khối nón tạo thành

Câu hỏi:
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón có diện tích xung quanh của hình nón \(8\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}\). Góc giữu đường sinh hình nón và mặt đáy là \({{30}^{0}}\). Tính thể tích khối nón tạo thành
- A. \(4\pi {a^3}\)
- B. \(8\pi {a^3}\)
- C. \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)
- D. \(8\sqrt 3 \pi {a^3}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón có bán kính đáy r=AC, góc giữa đường sinh và mặt đáy là góc \(\widehat{BCA}={{30}^{0}}\), chiều cao hình nón \(h=AB=AC.\tan {{30}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}r\) nên đường sinh \(l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{r}^{2}}}{3}+{{r}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}r\).

Mà theo giả thiết diện tích xung quanh của hình nón bằng:

\({{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .r.\frac{2}{\sqrt{3}}r=8\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}\Rightarrow {{r}^{2}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow r=2\sqrt{3}a\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{3}r=\frac{\sqrt{3}}{3}.2\sqrt{3}a=2a\).

Vậy thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}h.\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}.2a.\pi .12{{a}^{2}}=8\pi {{a}^{3}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE