Cho nửa đ­ường tròn (O) đư­ờng kính  AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đư­ờng tròn.

a) Trong (O) có cung CA = CB (gt) nên sđ CA = sđ CB = \({180^0}:2 = {90^0}\)

\(\widehat {CAB} = \frac{1}{2}\) sđ CB = \(\frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (\(\widehat {CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB)

Tam giác ABE có \(\widehat {ABE} = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến)

 \(\widehat {CAB} = \widehat E = {45^0}\) nên tam giác ABE vuông cân tại B 

b) \(\Delta ABF,\Delta DBF\) là hai tam giác vuông (\(\widehat {ABF} = {90^0}\) theo CM trên) \(\widehat {ADB} = {90^0}\) do là góc nội tiếp chắn nửa đư­ờng tròn nên \(\widehat {BDF} = {90^0}\)) có chung góc AFB

Do đó \(\Delta ABF \sim \Delta BDF\)

Suy ra \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{FB}}{{FD}}\) hay \(F{B^2} = FD.FA\)

c) Trong (O) có \(\widehat {CDA} = \frac{1}{2}\) sđ CA = \(\frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)

\(\widehat {CDF} + \widehat {CDA} = {180^0}\) (2 góc kề bù) 

Do đó \(\widehat {CDF} = {180^0} - \widehat {CDA} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\)

Tứ giác CDFE có \(\widehat {CDF} + \widehat {CEF} = {135^0} + {45^0} = {180^0}\) 

Suy ra tứ giác CDFE nội tiếp