Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\).

Kẻ \(HM//BC \Rightarrow HM \bot CD \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SMH = {45^0}\).

Kẻ \(AE//BD\,\,\left( {E \in BC} \right)\) \( \Rightarrow BD//\left( {SAE} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SAE} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)\).

Trong (ABCD) kẻ \(HI//AC\,\,\left( {I \in AE} \right)\). Vì \(AC \bot BD \Rightarrow HI \bot AE\).

Trong (SHI) kẻ \(HK \bot SI\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot IH\\AE \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AE \bot HK \Rightarrow HK \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) = HK\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), dễ dàng chứng minh được OAIH là hình chữ nhật \( \Rightarrow HI = OA = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\dfrac{{HM}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{BD}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HM = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{4}.2a = \dfrac{{3a}}{2}\)

\( \Rightarrow SH = HM\tan {45^0} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHI có : \(HK = \dfrac{{SH.HI}}{{\sqrt {S{H^2} + H{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {34} }}{{17}}\).

Chọn D.