ADMICRO
VIDEO
  • Câu hỏi:

    Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = a. Biết góc giữa hai đường thẳng AC' và BA' bằng 60°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

    • A. \(a^3\)
    • B. \(2a^3\)
    • C. \(\frac{{{a^3}}}{3}\)
    • D. \(\frac{{{a^3}}}{2}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành A'B'C'D'.

    Do \(\left\{ \begin{array}{l}
    A'B' = A'C'\\
    \angle B'A'C' = 90^\circ 
    \end{array} \right. \Rightarrow A'B'DC'\) là hình vuông.

    \( \Rightarrow AC'//BD \Rightarrow \angle \left( {AC';BA'} \right) = d\left( {BD;BA'} \right) = 60^\circ \) và B'D = a.

    Gọi \(O = A'D \cap B'C' \Rightarrow O\) là trung điểm của A'D.

    \(\Delta A'B'C'\) vuông cân tại \(A' \Rightarrow A'O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'D = a\sqrt 2 \).

    Đặt \(BB' = x \Rightarrow A'B = \sqrt {{x^2} + {a^2}} ;BD = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \).

    TH1: \(\angle A'BD = 60^\circ \).

    Áp dụng định lí cosin trong tam giác A'BD ta có:

    \(A'{D^2} = A'{B^2} + B{D^2} - 2A'B.BD.\cos 60^\circ  \Rightarrow 2{a^2} = 2{x^2} + 2{a^2} - 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\frac{1}{2}\) 

    \( \Leftrightarrow 2{x^2} = {x^2} + {a^2} \Leftrightarrow {x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = a\) 

    \( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{2}\)

    TH2: \(\angle A'BD = 120^\circ \).

    Áp dụng định lí cosin trong tam giác A'BD ta có:

    \(A'{D^2} = A'{B^2} + B{D^2} - 2A'B.BD.\cos 120^\circ  \Rightarrow 2{a^2} = 2{x^2} + 2{a^2} + 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\frac{1}{2}\) 

    \( \Leftrightarrow 0 = 3{x^2} + 2{a^2} \Leftrightarrow x = a = 0\) (vo li)

    Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 65593

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ADMICRO

 

YOMEDIA
ON