Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=1,AC=2,A{A}'=3\) và \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh \(B{B}', C{C}'\) sao cho \(BM=3{B}'M, CN=2{C}'N\). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\left( A'BN \right)\).

Ta có \({{S}_{\Delta {A}'BM}}=\frac{1}{2}BM.{A}'M=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.3.1=\frac{9}{8}\).

Trong mặt phẳng \(\left( {A}'{B}'{C}' \right)\) kẻ

\({C}'H\bot {A}'{B}'\left( H\in {A}'{B}' \right) \Rightarrow {C}'H\bot \left( {A}'BM \right)\).

Khi đó \({C}'H={A}'{C}'.\sin \widehat{{B}'{A}'{C}'}=\sqrt{3}\).

Xét tam giác vuông \(AB{A}': {A}'{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{{A}'}^{2}}=10\).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC: \(B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{BAC} \Leftrightarrow B{{C}^{2}}=7\)

Xét tam giác vuông BCN: \(B{{N}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}=11\).

Xét tam giác vuông \({A}'{C}'N\): \({A}'{{N}^{2}}={A}'{{{C}'}^{2}}+C{{N}^{2}}=5\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin cho tam giác \({A}'BN: \cos \widehat{NB{A}'}=\frac{{A}'{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}-{A}'{{N}^{2}}}{2.{A}'B.BN} =\frac{10+11-5}{2.\sqrt{10}.\sqrt{11}}=\frac{8}{\sqrt{110}} \Rightarrow \sin \widehat{NB{A}'}=\sqrt{\frac{23}{55}}\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta {A}'BN}}=\frac{1}{2}{A}'B.BN.\sin \widehat{NB{A}'} =\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{11}.\sqrt{\frac{23}{55}}=\frac{\sqrt{46}}{2}\).

Mà \({{S}_{\Delta {A}'BN}}.d\left( M,\left( {A}'BN \right) \right)={{S}_{\Delta {A}'BM}}.{C}'H \Rightarrow d\left( M,\left( {A}'BN \right) \right)=\frac{{{S}_{\Delta {A}'BM}}.{C}'H}{{{S}_{\Delta {A}'BN}}}=\frac{9\sqrt{138}}{184}\).