Cho phương trình \({{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x=2\left( {{\sin }^{2020}}x+{{\cos }^{2020}}x \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\).

Xét \(\cos x=0\), ta có 1+0=2.(1+0). Vậy \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2020}}x\ne 0, \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}.{{\tan }^{2018}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=2\left( {{\tan }^{2020}}x+1 \right)\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 1+{{\tan }^{2}}x \right){{\tan }^{2018}}x+1+{{\tan }^{2}}x=2\left( {{\tan }^{2020}}x+1 \right)\)

Đặt t=tan x, phương trình trở thành \(\left( 1+{{\operatorname{t}}^{2}} \right){{\operatorname{t}}^{2018}}+1+{{\operatorname{t}}^{2}}=2\left( 1+{{\operatorname{t}}^{2020}} \right)\Leftrightarrow {{\operatorname{t}}^{2018}}+{{\operatorname{t}}^{2020}}+1+{{\operatorname{t}}^{2}}=2+2{{\operatorname{t}}^{2020}}\)

\(\Leftrightarrow {{t}^{2020}}+1-{{t}^{2018}}-{{t}^{2}}=0 \Leftrightarrow {{t}^{2018}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)-\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0 \Leftrightarrow \left( {{t}^{2018}}-1 \right)\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \tan x=\pm 1\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Do \(x\in \left( 0;2018 \right) \Rightarrow 0<\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}<2018 \Rightarrow 0\le k\le 1284,k\in \mathbb{Z}\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\) bằng

\(\frac{\pi }{4}.1285+\left( 1+2+...+1284 \right)\frac{\pi }{2} =\frac{\pi }{4}.1285+\frac{1284.1285}{4}\pi  ={{\left( \frac{1285}{2} \right)}^{2}}\pi \)