Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chọp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng lần phần còn lại. Tính tỉ số

Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNI) với hình chóp là hình ngũ giác IMNJH với MN // IJ. Ta có MN, AD, IH đồng qui tại E với \(EA = \frac{1}{3}ED\) và MN, CD, HJ đồng qui tại F với \(FC = \frac{1}{3}FD\), chú ý E, F cố định.

Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có \(\frac{{HS}}{{HD}}.\frac{{ED}}{{EA}}.\frac{{IA}}{{SI}} = 1\).

\( \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{HD}}.3.k = 1 \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{HD}} = \frac{1}{{3k}}\)

Từ đó \(\frac{{d\left( {H,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{SD}} = \frac{{3k}}{{3k + 1}}\).

Suy ra \({V_{HJIAMNCD}} = {V_{H.DFE}} - {V_{I.AEM}} - {V_{J.NFC}}\).

Đặt \(V = {V_{S.ABCD}}\) và \(S = {S_{ABCD}},h = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) ta có \({S_{AEM}} = {S_{NFC}} = \frac{1}{8}S\) và \(\frac{{d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{IA}}{{SA}} = \frac{k}{{k + 1}}\)

Thay vào ta được \({V_{HJIAMNCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3k}}{{3k + 1}}h.\left( {\frac{9}{8}S} \right) - 2.\frac{1}{3}.\frac{k}{{k + 1}}h.\frac{1}{8}S=\frac{1}{8}.\frac{{21{k^2} + 25k}}{{\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\).

Theo giả thiết ta có \({V_{HJIAMNCD}} = \frac{{13}}{{20}}V\) nên ta có phương trình \(\frac{1}{8}.\frac{{21{k^2} + 25k}}{{\left( {3k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \frac{{13}}{{20}}\), giải phương trình này được \(k = \frac{2}{3}\).