-
Câu hỏi:
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn, với OM > 2R. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và đường kính AD của đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi C là giao điểm của MD với đường tròn và H là giao điểm của MO và AB.
a) Chứng minh \(\widehat {CHD} = 2\widehat {AMC}\)
b) Gọi K là giao điểm của MD với AB và I là giao điểm của BC với MH. Chứng minh ba đường thẳng MB, IK và HD đồng quy.
Lời giải tham khảo:
a) Ta có \(\widehat {ACD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ACM} = {90^0} = \widehat {AHM}\). Do đó AMCH nội tiếp
Suy ra \(\widehat {AMC} = \widehat {CHB}\,\,\left( 1 \right)\)
Ta lại có \(MH.MO = M{A^2} = MC.MD\)
Suy ra \(\Delta MCH \sim \Delta MOD\) và tứ giác OHCD nội tiếp
Do đó \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {DCO} = \widehat {DHO}\)
Suy ra \(\widehat {CHB} = {90^0} - \widehat {MHC} = {90^0} - \widehat {DHO} = \widehat {BHD}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\widehat {AMC} = \widehat {CHD}\)
b) Ta có \(\widehat {HMC} = \widehat {HAC} = \widehat {BAC}\) và \(\widehat {CHM} = \widehat {CAM} = \widehat {CDA} = \widehat {CBA},\)
Nên \(\Delta MCH \sim \Delta ACB\). Suy ra \(\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{2AH}}\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, \(\widehat {IMC} = \widehat {CDB} = \widehat {CAB} = \widehat {CAH}\) và \(\widehat {ICM} = \widehat {DCB} = \widehat {DAB} = \widehat {AMH} = \widehat {ACH}\)
Nên \(\Delta IMC \sim \Delta HAC\). Suy ra \(\frac{{MC}}{{MI}} = \frac{{AC}}{{AH}}\)
Từ (1) và (2) suy ra I là trung điểm MH
Gọi \(L = IK \cap DB\), suy ra L là trung điểm của DB
Gọi \(F = HD \cap MB\). Suy ra
Do đó \(\frac{{FD}}{{FH}} = \frac{{DB}}{{HM}} = \frac{{2DL}}{{2HI}} = \frac{{DL}}{{HI}}\). Suy ra \(\Delta FDL \sim \Delta FHI\)
Từ đây ta được F, L, I thẳng hàng. Do đó ta được kết quả.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2\) và\(\sqrt {ab + 2c} + \sqrt {bc + 2a} + \sqrt {ca + 2b} = 4\
- a) Giải phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 1 = 2x + 5\)b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x\sqrt x -
- Cho tam giác ABC vuông tại A.Lấy hai điểm M, N thuộc BC, điểm P thuộc cạnh CA và điểm Q thuộc cạnh AB sao cho MNPQ là hình vuông. Chứng minh rằng: a) \(AP + BQ \ge 2MN\) b) \(AB + AC > 4MN\)
- a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(x, y\) khác 0 ta đều có\(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{6x}}{y}
- Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn, với OM > 2R.
- Số nguyên dương n được gọi là số so cute” nếu tổng bình phương tất cả các ước số dương của n (kể cả 1 và n)