Cho tam giác ABC vuông tại A.Lấy hai điểm M, N thuộc BC, điểm P thuộc cạnh CA và điểm Q thuộc cạnh AB sao cho MNPQ là hình vuông. Chứng minh rằng: a) \(AP + BQ \ge 2MN\) b) \(AB + AC > 4MN\)

a) Ta có \(\sin B = \frac{{MQ}}{{BQ}} = \frac{{AP}}{{PQ}}\) nên \(MQ.PQ = BQ.AP\)

Suy ra \(2MN = 2\sqrt {AP.BQ}  \le AP + BQ\)

b) Tương tự ta cũng có \(2MN \le AQ + CP\)

Từ đó \(4MN \le \left( {AP + CP} \right) + \left( {AQ + BQ} \right) = AB + AC\)

Nếu 4MN = AB+AC thì ta phải có BQ = AP và CP = AQ nên BQ+AQ = AP+CP. Suy ra AB = AC = 2MN

Do đó \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên BC = 3MN và

Suy ra MN = 0. Do đó dáu đẳng thức không thể xảy ra. Vậy 4MN < AB+AC