Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ A = 10 cm nhưng tần số khác nhau

Ta có:

\(x^2 + \frac{v^2}{\omega ^2}= A^2 \Rightarrow v= \omega \sqrt{A^2 - x^2}\)

\(\leftarrow \frac{x}{\omega \sqrt{A^2 - x^2}} = \frac{1}{\omega \sqrt{\frac{A^2}{X^2} - 1}}\)

Lấy đạo hàm của \(\frac{x}{v}\) theo t, chú ý A và \(\omega\) là hằng số

\((\frac{x}{v})' = (\frac{1}{\omega \sqrt{\frac{A^2}{x^2} - 1}}) = \frac{1}{\omega}\left [ \frac{- (\sqrt{\frac{A^2}{x^2} - 1})'}{(\frac{A^2}{x^2} - 1)} \right ]\)

\(= \frac{1}{\omega }\left [ \frac{- (\frac{A^2}{x^2} - 1)'}{(\frac{A^2}{X^2} - 1. 2 \sqrt{\frac{A^2}{x^2} - 1})} \right ]\)

\(= \frac{\frac{A^2x'}{x^3}}{\omega (\frac{A^2}{x^2} - 1). \sqrt{\frac{A^2}{x^2} - 1}}\)

\(\Leftrightarrow (\frac{x}{v})' = \frac{A^2v}{\omega x^3(\frac{A^2}{x^2} - 1). \sqrt{\frac{A^2}{x^2} - 1}}\)

\(= \frac{A^2\omega \sqrt{A^2 - x^2}}{\omega (A^2 - x^2). \sqrt{A^2 - x^2}} = \frac{A^2}{A^2 - x^2}\)

Tương tự như trên ta lấy đạo hàm theo t hai vế phương trình

\((\frac{x_1}{v_1} + \frac{x_2}{v_2})' = (\frac{x_2}{v_3})' \Leftrightarrow (\frac{x_1}{v_1} )' + (\frac{x_2}{v_2})' = (\frac{x_3}{v_3})'\)

\(\rightarrow \frac{A^2}{A^2 - x_1^2} + \frac{A^2}{A^2 - x_2^2} = \frac{A^2}{A^2 - x_3^2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{A^2 - x_1^2} + \frac{1}{A^2 - x_2^2} = \frac{1}{A^2 - x_3^2}\)

Thay số vào ta được

\(\frac{1}{10^2 - 6^2} + \frac{1}{10^2 - 8^2} = \frac{1}{10^2 - x_3^2}\Rightarrow x_3 = \sqrt{10^2 - \frac{6^2.8^2}{6^2 + 8^2}}\approx 8,77 cm\)