Cho a, b, c là các số tự nhiên không âm tính tổng S=a + b + c biết tích phân 0 đến pi/2 (cosx/({sin}^2x-5sinx+6)dx=4ln(4/c)+b

Tính tích phân: \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx.\)

Đặt \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = t,\) \(t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \cos xdx = dt\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)  

Lúc đó:

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 5 + 6}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t - 3)}}} }\)\(= \left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t - 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \ln \frac{4}{3}.\)

Khi đó \(a = 1,b = 0,c = 3\) hay \(a + b + c = 1 + 3 + 0\).