Biết tích phân 0 đến 2 e^x(2x+e^x)dx=a.e^4+be^2+c với a,b,c là các số hữu tỉ

Ta có:
\(I = \int\limits_0^2 {{e^x}\left( {2x + {e^x}} \right)dx = } \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx + \int\limits_0^2 {2x.{e^x}dx = } } \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^2 + 2\int\limits_0^2 {x{e^x}dx = \frac{{{e^x}}}{2} - \frac{1}{2} + 2\int\limits_0^2 {x{e^x}dx} }\)

Đặt
\(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I = \frac{{{e^4}}}{2} - \frac{1}{2} + \left. {\left( {2x.{e^x}} \right)} \right|_0^2 - 2\int\limits_0^2 {{e^x}dx} = \frac{{{e^4}}}{2} - \frac{1}{2} + \left. {\left( {2x.{e^2}} \right)} \right|_0^2 - \left. {\left( {2{e^x}} \right)} \right|_0^2\)
\(= \frac{{{e^4}}}{2} + 2{e^2} + \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = 2\\ c = \frac{3}{2} \end{array} \right. \Rightarrow S = a + b + c = 4.\)