Lý thuyết và bài tập về các phép toán trên tập hợp

1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp \(C\) gồm các phần tử vừa thuộc \(A,\) vừa thuộc \(B\) được gọi là giao của \(A\) và \(B.\)

Kí hiệu \(C=A\cap B\) (phần gạch chéo trong hình).

Vậy \(A\cap B=\left\{ x|x\in A\,\,;\,\,x\in B \right\}\)

\(x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \in B \end{array} \right.\)

2. Hợp của hai tập hợp

Tập hợp \(C\) gồm các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\) được gọi là hợp của \(A\) và \(B\)

Kí hiệu \(C=A\cup B\) (phần gạch chéo trong hình).

Vậy \(A\cup B=\left\{ x|x\in A\,\,hoac\,\,x\in B \right\}\)

\(x \in A \cup B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \in A\\ x \in B \end{array} \right.\)

3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp

Tập hợp \(C\) gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) gọi là hiệu của \(A\) và \(B.\)

Kí hiệu \(C=A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B\)

Vậy \(A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B=A\cup B=\left\{ x|x\in A\,\,;\,\,x\in B \right\}\)

\(x \in A\,\,{\rm{\backslash }}\,\,B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \notin B \end{array} \right.\)

Khi \(B\subset A\) thì \(A\,\,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\,B\) gọi là phần bù của \(B\) trong \(A,\) kí hiệu \({{C}_{A}}B.\)                                                                

                                                                   

Ví dụ 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| 2{{x}^{2}}-7x+5=0 \right. \right\}.\)

A. \(X=\left\{ 1;\frac{5}{2} \right\}\).               

B. \(X=\left\{ 1 \right\}\).        

C. \(X=\left\{ -1;\frac{5}{2} \right\}\). 

D. \(X=\varnothing \).

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Giải phương trình \(2{x^2} - 7x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.\). Hai nghiệm này đều thuộc \(\mathbb{R}\).

Cách 2: Nhập vào máy tính \(2{{X}^{2}}-7X+5=0\) sau đó ấn Calc lần lượt các đáp án, đáp án câu nào làm phương trình bằng 0 thì chọn đáp án đó.

Ví dụ 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| 3x-5

A. \(X=\left\{ 1;2;3 \right\}\). 

B. \(X=\left\{ 1,2 \right\}\).     

C. \(X=\left\{ 0;1;2 \right\}\).

D. \(X=\varnothing \).

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: Giải bất phương trình \(3x-5

Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.

Ví dụ 3: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| \frac{5}{\left| 2x-1 \right|}>2 \right. \right\}.\)

A. \(X=\left\{ 0;1;2;3 \right\}\).

B. \(X=\left\{ 0;1 \right\}\).     

C. \(X=\left\{ 0;1;2 \right\}\).                   

D. \(X=\varnothing \).

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Giải bất phương trình \(\left| {2x - 1} \right| < \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 1 < \frac{5}{2}}\\ {2x - 1 > - \frac{5}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < \frac{7}{4}}\\ {x > \frac{{ - 3}}{4}} \end{array}} \right..\)

Mà \(x\) là các số tự nhiên nên chọn câu B.

Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.

Ví dụ 4: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| ({{x}^{2}}-10x+21)({{x}^{3}}-x)=0 \right. \right\}\)

A. \(X=\left\{ 0;1;2;3 \right\}\).

B. \(X=\left\{ 0;1;3;7 \right\}\).           

C. \(X=\varnothing .\)    

D. \(X=\left\{ -1;0;1;3;7 \right\}\).

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Giải  phương trình \(({x^2} - 10x + 21)({x^3} - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 10x + 21 = 0}\\ {{x^3} - x = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 7} \end{array}} \right.}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = \pm 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..\)

Mà \(x\) là các số nguyên nên chọn câu D.

Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.

Câu 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x-5\le -4x \right. \right\}.\)

A. \(\left\{ 0;1 \right\}.\)

B. \(\left\{ 0;1;2 \right\}.\)  

C. \(\left\{ -1;0;1 \right\}.\)    

D. \(\varnothing .\)

Câu 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| -5<2x+1<3 \right. \right\}.\)

A. \(\left\{ -1;0 \right\}.\)

B. \(\left\{ -2;-1;0 \right\}.\)     

C. \(\left\{ -1;0;1;2 \right\}.\) 

D. \(\varnothing .\)

Câu 3: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| (3{{x}^{2}}-7x+4)(1+{{x}^{2}})=0 \right. \right\}.\)

A. \(\left\{ -1;1;\frac{4}{3} \right\}.\)

B. \(\left\{ 1;\frac{4}{3} \right\}.\)      

C. \(\left\{ -1;1 \right\}.\) 

D. \(\varnothing .\)

Câu 4: Liệt kê các phần tử của tập hợp \(X=\left\{ n\in \mathbb{N}\left| n=2k+1,\text{ }k\in \mathbb{Z},0\le k\le 4 \right. \right\}\)

A. \(\left\{ 1;2;3;4 \right\}.\)

B. \(\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}.\) 

C. \(\left\{ 1;3;5;7;9 \right\}.\) 

D. \(\varnothing .\)

Câu 5: Tính chất đặc trưng của tập hợp \(X=\left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}.\)

A. \(\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| -2\le x\le 3 \right. \right\}.\)

B. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| -2\le x\le 3 \right. \right\}.\)     

C. \(\left\{ x\in \mathbb{R}\left| -2\le x\le 3 \right. \right\}.\)

D. \(\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| -2\le x+1\le 6 \right. \right\}.\)

Câu 6: Tính chất đặc trưng của tập hợp \(X=\left\{ 0;1;4;9;16;25;36.... \right\}.\)

A. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x={{n}^{2}};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)          

B. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x={{n}^{2}};n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right. \right\}.\)         

C. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x=n(n+1);n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)  

D. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x=n(n+1);n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)

Câu 7: Tính chất đặc trưng của tập hợp \(X=\left\{ -\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};\frac{1}{16};-\frac{1}{32} \right\}.\)

A. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x=\frac{{{(-1)}^{n}}}{2n};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)            

B. \(\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| x=\frac{{{(-1)}^{n}}}{2n};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)     

C. \(\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| x=\frac{{{(-1)}^{n+1}}}{2n};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)        

D. \(\left\{ x\in \mathbb{Q}\left| x=\frac{{{(-1)}^{n}}}{2n};n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right. \right\}.\)

Câu 8: Tính chất đặc trưng của tập hợp \(X=\left\{ 9;-3;1;-\frac{1}{3};\frac{1}{9};... \right\}.\)

A. \(\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| x=9.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{n}};n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right. \right\}.\)

B. \(\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| x=9.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{n}};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)                              

C. \(\left\{ x\in \mathbb{R}\left| x=9.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{n}};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)  

D. \(\left\{ x\in \mathbb{N}\left| x=9.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{n}};n\in \mathbb{N} \right. \right\}.\)

Câu 9: Cho hai tập hợp \(A=\left\{ -2;-1;3;5;7 \right\},B=\left\{ -2;5;7;13;20 \right\}\) khi đó tập \(A\cap B\)

A. \(A\cap B=\left\{ -2;-1;3;5;7;13;20 \right\}.\)  

B. \(A\cap B=\left\{ -1;3 \right\}.\)                        

C. \(A\cap B=\left\{ 13;20 \right\}.\) 

D. \(A\cap B=\left\{ -2;5;7 \right\}.\)

Câu 10: Cho hai tập hợp \(A=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| 7{{x}^{2}}+3x-4=0 \right. \right\},B=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| 3x+2<\sqrt{15} \right. \right\}\) khi đó

A. \(A\cap B=\left\{ -1;\frac{4}{7} \right\}.\)

B. \(A\cap B=\left\{ 1 \right\}.\)                                       

C. \(A\cap B=\left\{ 1;0 \right\}.\)  

D. \(A\cap B=\varnothing \)

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về các phép toán trên tập hợp. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và dạng toán có liên quan đến tập hợp

• Các tập hợp số và bài tập áp dụng

Chúc các em học tập tốt!